TRIANGULO RETANGULO

 Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 metros . Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°. Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

Solução:
Observe a figura:

Sendo a distância AB = 1200 m. Se chamarmos a distância BC = a , teremos que a distância AC = 1200 - a.
Com isso formamos dois triângulos retângulos BCN e ACN. No triângulo BCN, observamos que

tg 45º = h/a = 1
a = h   [1]

No triângulo ACN, teremos:

tg 60º =      h
             (1200 - a)

 √3    =        h
             (1200 - a)
h = 1200√3 - a√3 [2]

Substituindo [1] em [2], ou seja, fazendo a = h, ficamos com uma equação de primeiro grau e agora basta resolvê-la:

h = 1200√3 - h√3
h + h√3 = 1200√3
h(1 + √3) = 1200√3
h =    1200√3
         (1 + √3)
Como no denominador, temos  1 + √3, devemos multiplicar por ( 1 - √3) - para racuonalizar, sempre trocamos o sinal do meio em cado de soma ou subtração. 

h =    1200√3. (1 -√3)
         (1 + √3) (1 -√3)
h =  1200.√3  - 1200.√3.√3
             1²  -  (√3)²  ( ver observação no final)
h = 1200.√3 - 1200.3
               1  - 3

h = 1200.√3 - 3600
                - 2
Multiplicando por -1 , vem
h =    3600  -  1200√3
                   2
h = 1200. ( 3 - √3)
                  2
h = 600 ( 3 - √3)
h = 1800 - 600.√3
     
Como √3 = 1,7 , vem


h =  760,77m.

observação :  sempre que tivermos ( a + b) . ( a - b)  fazemos o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo - ( desenvolva e você descobrirá isso-