LEI DOS SENOS

9.Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C, e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores:

   Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação  √ 6 = 2,4?

Obs.: sen 120º = sen 60º

Solução:

A soma dos ângulos internos é 180°:

Temos que:

DCB + BDC + CBD = 180°

15° + 120° + CBD = 180°

135° + CBD = 180°

CBD = 45°

Dados:

DISTÂNCIAS →

AC = 20m;

CD = 40m;

AB = x

CB = = 20 + AB = 20 + x

Pela Lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

....a.............b..............c 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ = ..¯¯¯¯¯¯¯

Sen Â…...... Sen B….... Sen C

....CD........CB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

Sen ^B….... Sen ^D

....40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

Sen 45….... Sen 120

Lembrando que : sen 120 = sen 60 ( ângilo obtuso -página 13), vem:

....40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

√2/2…....     √3/2

Cancelando o fator comum 2, vem:

..40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

    √2…....     √3

40.(√3)=  (20 + AB).(√2)

   

   √3      =     20 + AB        

   √2                 40                     

Racionalizando, vem:

  20 + AB        =       √3    √2  

     40                     √2   √2 

   20 +  AB         =       √6 

        40                     2
 2 .(20 + AB) =  40. √6
Do enunciado, √ 6 = 2,4
40 +  2.AB  = 40.2,4
2.AB  = 96 - 40
2.AB  = 56

AB = 28 m