TRIANGULO RETANGULO

 Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 metros . Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°. Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

Solução:
Observe a figura:

Sendo a distância AB = 1200 m. Se chamarmos a distância BC = a , teremos que a distância AC = 1200 - a.
Com isso formamos dois triângulos retângulos BCN e ACN. No triângulo BCN, observamos que

tg 45º = h/a = 1
a = h   [1]

No triângulo ACN, teremos:

tg 60º =      h
             (1200 - a)

 √3    =        h
             (1200 - a)
h = 1200√3 - a√3 [2]

Substituindo [1] em [2], ou seja, fazendo a = h, ficamos com uma equação de primeiro grau e agora basta resolvê-la:

h = 1200√3 - h√3
h + h√3 = 1200√3
h(1 + √3) = 1200√3
h =    1200√3
         (1 + √3)
Como no denominador, temos  1 + √3, devemos multiplicar por ( 1 - √3) - para racuonalizar, sempre trocamos o sinal do meio em cado de soma ou subtração. 

h =    1200√3. (1 -√3)
         (1 + √3) (1 -√3)
h =  1200.√3  - 1200.√3.√3
             1²  -  (√3)²  ( ver observação no final)
h = 1200.√3 - 1200.3
               1  - 3

h = 1200.√3 - 3600
                - 2
Multiplicando por -1 , vem
h =    3600  -  1200√3
                   2
h = 1200. ( 3 - √3)
                  2
h = 600 ( 3 - √3)
h = 1800 - 600.√3
     
Como √3 = 1,7 , vem


h =  760,77m.

observação :  sempre que tivermos ( a + b) . ( a - b)  fazemos o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo - ( desenvolva e você descobrirá isso- 

LEI DOS SENOS

9.Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C, e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores:

   Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação  √ 6 = 2,4?

Obs.: sen 120º = sen 60º

Solução:

A soma dos ângulos internos é 180°:

Temos que:

DCB + BDC + CBD = 180°

15° + 120° + CBD = 180°

135° + CBD = 180°

CBD = 45°

Dados:

DISTÂNCIAS →

AC = 20m;

CD = 40m;

AB = x

CB = = 20 + AB = 20 + x

Pela Lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

....a.............b..............c 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ = ..¯¯¯¯¯¯¯

Sen Â…...... Sen B….... Sen C

....CD........CB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

Sen ^B….... Sen ^D

....40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

Sen 45….... Sen 120

Lembrando que : sen 120 = sen 60 ( ângilo obtuso -página 13), vem:

....40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

√2/2…....     √3/2

Cancelando o fator comum 2, vem:

..40........20 + AB 

¯¯¯¯¯¯¯ = ¯¯¯¯¯¯¯ 

    √2…....     √3

40.(√3)=  (20 + AB).(√2)

   

   √3      =     20 + AB        

   √2                 40                     

Racionalizando, vem:

  20 + AB        =       √3    √2  

     40                     √2   √2 

   20 +  AB         =       √6 

        40                     2
 2 .(20 + AB) =  40. √6
Do enunciado, √ 6 = 2,4
40 +  2.AB  = 40.2,4
2.AB  = 96 - 40
2.AB  = 56

AB = 28 m

ANÁLISE DIMENSIONAL - POTÊNCIAS

(Ufrn 2002-ADAPTADA KP 2013)  Atualmente se fala muito em economizar energia elétrica. Uma das alternativas é aproveitar a energia do sol para o aquecimento de água em residências, através de coletor solar. O princípio de funcionamento do coletor baseia-se no fato de que todo corpo exposto à radiação do sol tende a se aquecer pela absorção dessa energia.

A figura a seguir é uma representação esquemática de um tipo de coletor solar composto basicamente por:

- uma caixa fechada, contendo canos de cobre na forma de serpentina (onde circula a água a ser aquecida);

- uma placa pintada de preto fosco (para melhorar o processo de aquecimento da água);

- uma tampa de vidro transparente (por onde passa a radiação solar e que ajuda a reduzir perdas por convexão).

Considere:

- a intensidade da radiação solar I=60cal/cm².h;

- a área de absorção de energia do coletor A=5×10⁴cm²;

- o calor específico da água c = 10³ cal/kg.^°C;

- a quantidade de água aquecida de 30^°C para 70^°C, em uma hora, como sendo m = 36 kg;

- o rendimento, como sendo a razão entre a energia absorvida pela água no processo de aquecimento e a energia fornecida pelo sol ao coletor.

- a energia absorvida pela água Q é dada por Q = m.c.Dq ; onde Dq é a variação de temperatura da 

água

Considerando os dados acima, calcule:

a) a quantidade de energia, por hora, que é absorvida pela água.

b) o rendimento, desse coletor.

Solução:

TRIÂNGULO RETÂNGULO

 (Ufpr 2012)  Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?

Solução: