quinta-feira, 11 de julho de 2013

GEOMETRIA ANALÍTICA 4- CÔNICAS

O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:




Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?                                                     
  
a) 4 m                    b) 6 m                   c) 8 m                d) 10 m              e) 12 m                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                3   Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir.


Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular?
a) 10 m.                b) 15 m.                c) 20 m.              d) 25 m.           e) 30 m.                                                             

4  Kepler, astrônomo alemão que viveu antes de Newton, foi o primeiro a enunciar leis que regem o movimento dos planetas em torno do Sol. A Primeira Lei de Kepler afirma que os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos. Em consequência, em alguns pontos, os planetas estão mais próximos do Sol do que em outros. Por exemplo, a Terra chega a 147 x 106 km do Sol, em seu periélio (o ponto mais próximo, P), e atinge 152 x 10 6 km do Sol, em seu afélio (o ponto mais afastado, A), conforme a figura adiante.

  

  Sabe-se que a excentricidade da elipse é a razão entre a distância do foco ao centro da elipse e a medida do semi-eixo maior. Então, no caso da órbita da Terra, a excentricidade e vale:.  

  
a) 1/299      b) 2/299       c) 3/299       d) 4/299      e) 5/299
     

     5   Na parede retangular de um palácio renascentista, há um vitral circular e, acima dele, na mesma parede, uma estreita faixa reta, conforme a figura:


Essa parede foi ornamentada com um elemento decorativo em forma de uma curva que tem a seguinte característica: cada ponto da curva está situado a igual distância do centro do vitral e da faixa.
Pode-se afirmar que o elemento decorativo tem a forma de um arco:
a) de elipse                             b) de hipérbole                       c) de parábola   
d) de circunferência                 e) de senoide   
  
    6   O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y = x2 são dados por:
a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz y = -1/4       
b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz y = -1/2       
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1   
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1   
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2   


O gráfico da equação x2 - y2 = 1 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:
  a) (1/2,0) e (-1/2,0)                                                                                                                                   b) (2, 0) e (-2, 0)                                                                                                                                       c) (Ö2 , 0) e (-Ö2 ,0)
  d) (0,Ö2  ) e (0, -Ö2 )                                                                                                                                   e) (0,1/2) e (0,-1/2) 
   
 
8. Em certo sistema marítimo de navegação, duas estações de rádio, localizadas na  costa, nos pontos A e B, transmitem simultaneamente sinais de rádio para qualquer embarcação que se encontre no mar, na área de alcance dessas estações. Sendo P o ponto onde está localizada uma embarcação que recebe esses sinais, o computador de  bordo da embarcação calcula a diferença, PA - PB , das distâncias da embarcação a  cada uma das estações. Um navio que estava ancorado no  mar recebeu o sinal da estação localizada em B e, 120 microssegundos (ms) depois, recebeu o sinal da estação localizada em A, conforme a figura
    Considere as estações de rádio e o  ponto P onde esse navio estava  ancorado como pontos de um plano cartesiano, onde a unidade de  comprimento é o quilômetO e  A(-30,0) e B(30 ,0)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                           Nesse contexto, pede-se

a)    A partir da expressão d = PA – PB = V.Dt calcule a medida a do semi eixo real.
b)    Determine a equação da hipérbole com focos nos pontos A e B e que contém o ponto P                 

GEOMETRIA ANALÍTICA 3 - CIRCUNFERÊNCIA

1


A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada NA FIGURA ABAIXO é:
a) x2 + y2 - 3x - 4y = 0             b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0          c) x2 + y2 + 6x - 8y = 0   
d) x2 + y2 + 8x - 6y = 0            e) x2 + y2 - 8x + 6y = 0   
  

Considere a reta s e os pontos A, B e C representados na figura a seguir.


a) Determine as coordenadas cartesianas dos pontos A, B e C.
b) Determine uma equação cuja representação gráfica seja a reta s.
c) Determine uma equação cuja representação gráfica seja a circunferência de centro B que passa pelo ponto C.

3.         A feira de Caruaru

A feira de Caruaru
Faz gosto da gente ver
De tudo que há no mundo
Nela tem pra vender
            http://luiz-gonzaga.letras.terra.com.br

A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua canção está indicada no mapa a seguir como a origem de um sistema de eixos ortogonais x0y.


Considere que a região de influência da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema de eixos, pela inequação x2 + y2 ≤ 2,25, com x e y medidos em centímetros.

Em relação à região de influência da feira,
a) determine sua área, em km2, supondo que a escala do mapa seja de 1:10.000.000;
b) demonstre que uma cidade situada nas coordenadas (11/10,11/10)do sistema de eixos considerado não está nessa região.
  
  
  
Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da professora gera um arco AB. Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora seja um quarto de uma circunferência de equação 100x2 + 100y2 - 600x  - 800y  + 2356 = 0 (com medidas x e y em metros).  o valor aproximado da altura da professora é:



a) 1,72 m       b)  1,76m      c) 1,80m       d) 1,84 m       e)  1,88 m 


A reta r de equação y =x/2  intercepta a circunferência de centro na origem e raio√5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas.
Determine:

a) a equação da circunferência e os pontos P e Q;
b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.



6. A reta y = mx (m > 0) é tangente à circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.
a)1/5.                    b)1/4.                    c)1/3.                  d) 1/2.               e) 2/5.  




GEOMETRIA ANALÍTICA 2 - RETA

1.Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m3 de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m3.


Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m3, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m3.
a) 12 anos             b) 13 anos     c) 14 anos                d) 15 anos                 e) 16 anos



2.  A equação da reta mostrada na figura a seguir é:


a) 3x + 4y - 12 = 0                 b) 3x - 4y + 12 = 0              c) 4x + 3y + 12 = 0   
d) 4x - 3y - 12 = 0                  e) 4x - 3y + 12 = 0   




Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo.




a) Escreva a equação da reta r.
b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta. 
  

No plano cartesiano, seja r uma reta de equação ax + 2y - 2 = 0. Sabendo que P = (1,-1) é um ponto de r, determine:

a) o valor de a;
b) o coeficiente angular de r.


  
5  


Determine a equação geral da reta apresentada 
                
  

6    Dada a equação de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s pelo ponto
P(1,1) será:
a) 2x - y = 0                         b) 2x + y +1 = 0                      c) 2x + y -1 = 0   
d) 2x - y -1 = 0                     e) 2x - y + 2 = 0   


7   Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, -2) e percorre a MENOR distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.
A equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga é:
a) 2y - x + 5 = 0                         b) y - x + 3 = 0                      c) y + x + 1 = 0   
d) 2y + x + 2 = 0                        e) y + x – 1  = 0
  

8 Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.



                                                   

A reta de equação y = x+ 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto (-5,5) , localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
a) (-5,0).                b) (-3,1).                c) (-2,1).                     d) (0,4).            e) (2,6).   

  
9   Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à calçada.



a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135º com a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de 3 metros, calcule o comprimento da rampa.
b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na resolução de cada item.