quinta-feira, 25 de abril de 2013

ÁREAS


1.Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde

a) a mesma área do triângulo AMC.   
b) a mesma área do triângulo BNC.   
c) a metade da área formada pelo triângulo ABC.   
d) ao dobro da área do triângulo MNC.   
e) ao triplo da área do triângulo MNC.   


  
  
  
2. Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede
9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões a, b e g.
Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II.


Então, é correto afirmar que a área da região a mede
a) 24 cm2.                 b) 28 cm2.            c) 30 cm2.           d) 32 cm2.          e) 34 cm2.   
  
  

3. (Ufrj 2007) )  Para facilitar o estudo dos triângulos, uma menina foi orientada por sua professora a trabalhar com jogos educativos Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: . É formado por cinco triângulos retângulos isósceles , um paralelogramo e um quadrado, como mostra as figuras abaixo. A.



  
Se a área de Q é 2, é correto afirmar:

a) A área do quadrado maior é 8.   
b) A área de T1 é o dobro da área de T3.   
c) A área de T4 é igual à área de T5.   
d) A área de T5 é 1/4 da área do quadrado maior.   
e) A área de P é igual à área de Q.   





4. A figura ao lado é de um mosaico quadrado de 1,5 m por 1,5 m,construído com cerâmicas quadradas de 0,30 m por 0,30 m,algumas cortadas em diagonal.
    A área, em metros quadrados, da região cinza que cerca as cerâmicas postas em diagonal é:



A) 0,08                B) 0,09                C) 0,10              D) 0,11




5. Um terreno retangular, com 12 km de comprimento por 9 km de largura, foi dividido em quatro regiões triangulares, ficando a área sombreada para preservação de mata virgem, conforme a figura ao lado.






Sabendo que AE = EF = FC , atenda às solicitações que seguem.
A) Determine a área de cada uma das quatro regiões triangulares.
B) Determine o percentual da área do terreno reservado para preservação de mata
virgem.



6. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.



Área do círculo: A = π * r²

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.    
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.    
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.    
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.    
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.   
  


7. A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio.
O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.



a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores.

b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2).




  8. A figura a seguir mostra uma circunferência de raio r  , inscrita num triângulo retângulo de lados BC=4 cm e AC = 3 cm.


a) Calcule a medida AB

b) Calcule o raio r da circunferência .




9.   Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando p = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.
   a) 1244.           b) 1256.             c) 1422.           d) 1424.          e) 1444.   




10. Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito.
Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é:
a) 70 mil          b) 30 mil           c) 100 mil               d) 90 mil              



  
11.O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1x1.
A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a



a) 1/2.            b) 1/3.         c) 3/5.         d) 5/7.        e) 5/8.   

  



12. (Fgv 2006)  Um fabricante produz um tipo de telha que tem a forma abaixo, cujas medidas estão expressas em cm na figura 1.
Ele pretende fabricar outro tipo de telha em que, como se observa na figura 2, há semicircunferências de raio R.
a) Se as áreas A1 e A2 (vide figura 3) devem ser iguais para que a vazão de água da chuva se mantenha a mesma, qual é o valor de R?
b) Qual é a economia de material, expressa em porcentagem, que o fabricante vai obter com a mudança do tipo de telha? As duas chapas têm larguras iguais, L, e comprimentos diferentes (vide figura 4).
 




terça-feira, 23 de abril de 2013

POTÊNCIA DO PONTO

1. Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O raio da circunferência mede, em cm:
a) 1  
b) 17   
c) 1  
d) 19   
e) 20



2. (Ufsc 2013)  Em um centro de eventos na cidade de Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983) confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no alto da parede frontal externa do prédio e tem 60m de comprimento por 10m de altura. A borda inferior do mural está 8m acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede deve ficar essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus (1436-1476) propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da seguinte maneira:



Imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo  α será máximo quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede onde se encontra o mural, como mostra a figura. Com estas informações, calcule a que distância OC da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan.  




3. Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro, representado na figura por um ponto Q.



Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é:
   a)       a) 4 m          b)  4,5 m.       c)  5 m.      d)  5,5 m.        e)  6 m.  


  


4.Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.




  Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de

   a) 6(\sqrt{3})R.              
   b) 7(\sqrt{3})R.            
   c) 8(\sqrt{3})R.             
   d) 10(\sqrt{2})R.       
   e) 11(\sqrt{2})R.   


CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

1.Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente 20 km da Praça da Sé.

a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia?

b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em habitantes por km2), supondo que lá residam 12 milhões de pessoas, adote o valor p = 3




2.  O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura.




   O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 mm, determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.  Dado: p ≈ 3,14.

    a) 160 m e 07 cm.                   b) 160 m e 14 cm.                    c) 160 m e 21 cm.  
    d) 160 m e 28 cm.                   e) 160 m e 35 cm.   






3. No processo inicial de criação de um logotipo para uma empresa, um designer esboçou várias composições de formas geométricas, na tentativa de encontrar algo simples e representativo. Em uma dessas composições, um círculo de raio r = 6 cm foi sobreposto a um triângulo equilátero de lado l = 18 cm , de acordo com a figura.



   Sabendo-se que as duas figuras têm centros no mesmo ponto, pode-se afirmar que o perímetro do logotipo é, em cm, igual a:

a) 6.(6 - π)    b) 6.(9 -π)      c) 6.(6+ π)    d) 9.(3+2π)      e) 9.(2-3π)          
                                                  
   
 
        4. Na figura abaixo, o triângulo  ABC está inscrito na semicircunferência de raio r = 5cm.  Se a medida AC= 6 cm



Atenda as solicitações:
  
a)    Justifique porque o triângulo ABC é retângulo.
b)    Determine a medida AB.
                c) Determine a área do triângulo ABC.